פיקוד העורף הגל השקט

הגדרת ישובים להתרעה
      הגדרת צליל התרעה

      התרגיל המתמטי שינפח לכם את הראש - אבל יציל את החיים שלכם

      תרגיל מורכב במתמטיקה המבוסס על מאורע היסטורי מטריף את כולם - כשהנכנעים לו מתלוננים על כאבי ראש והפותרים נכונה על הרגשה סופר מתגמלת. האם תצליחו לעלות על השיטה?

      התרגיל המתמטי שינפח לכם את הראש - אבל יציל את החיים שלכם

      בסרטון - נתגלה המקום שממנו פרצו הרומאים את חומות ירושלים לפני 2,000 שנה, כפי שתואר בספרו של יוסף בון מתיתיהו

      ככה זה כשמתמטיקה פוגשת כיתת התאבדות: תרגיל מתמטי מסובך שקיים מאז ימי בית המקדש הראשון עשה קאמבק היסטרי והצליח לסחוף אחריו אלפי גולשים ששברו את הראש על הפתרון שלו. התרגיל הוא בעצם חידה בקומבינטוריקה הנקראת "בעיית יוספוס", על שם יוספוס פלביוס (יוסף בן מתתיהו) ההיסטוריון היהודי. החידה מבוססת על המאורע בו לאחר נפילת יודפת בשנת 67 יוספוס ועוד 40 לוחמים יהודיים נלכדו במערה ע"י הרומאים. חבריו בחרו להתאבד ולא ליפול בשבי.הם הטילו פור ביניהם הקובע את סדר הריגתם, כאשר כל פעם מי שעולה בגורל יומת על ידי חברו הבא אחריו. בדרך זו לא יצטרך אף אחד להרוג את עצמו ולא יוכל להתחרט לאחר מות חברו. הם הסתדרו במעגל, כך שכל לוחם שלישי במעגל יתאבד, עד למות כולם - חוץ מאחד שיצטרך לבצע את ההתאבדות בעצמו. מאוד אופטימי עד עכשיו.

      יוספוס לא התלהב מזה שנגזר עליו למות וחשש לספר על זה לחבריו. לכן הוא חישב היכן במעגל עליו לעמוד כך שהוא יהיה האחרון שיישאר. לדוגמא, אם יוספוס היה בקבוצה של חמישה אנשים - הוא היה צריך לעמוד במקום השלישי בסדר. כך - לפי החוקים - הראשון היה הורג את השני, השלישי את הרביעי, החמישי את הראשון והשלישי את החמישי - כך שהשלישי נותר אחרון. במקרה של יוספוס הם היו 41 חיילים וכדי להישאר בחיים הוא היה צריך לעמוד במקום ה-19. איך? דניאל ארמן מאוניברסיטת ויסקונסין-מדיסון הדגים בסרטון כיצד ניתן לפתור את החידה הזאת.

      הסרטון עם הפתרון המלא:

      בסיבוב הראשון זה די ברור שכל מי שנמצא במספר הזוגי ימות, אז כדי לשרוד עליך להתמקם במספר אי זוגי. כשהסיבוב מסתיים, הוא מתחיל מהתחלה ומיקומך בסדר משתנה כי זה שלפניך ואחריך כבר אינם בחיים. הדפוס הבא שקל לזהות הוא שאם מספר החיילים הכולל הוא חזקה של 2 (1,2,4,8,16,32 וכך הלאה), אז המקום הנכון בשבילך הוא המקום ה-1. תחשבו על זה: אם יש שני אנשים – 1 הורג את 2. כשיש ארבעה אנשים במעגל – 1 הורג את 2, 3 את 4 ו-1 הורג את 3. לא משנה כמה גבוה תעלו בחזקת 2, תמיד החייל הראשון הוא זה שיתחיל את הסיבוב וזה שישרוד אותו.

      אבל מה עושים אם לא מדובר בחזקה של 2? ובכן זה כבר מסובך יותר. במקרה שכזה - השורד האחרון יהיה זה שתורו להרוג יגיע כאשר מספר האנשים שנותרו שווה לחזקה של 2. כך למשל - מספר האנשים ההתחלתי במעגל של יוספוס הוא 41, והמספר הגבוה ביותר של חזקה 2 שנמוך מ-41 הוא 32 (2 בחזקה 5). מכאן נובע שיש צורך ש-32 אנשים עדיין יהיו בחיים כשיגיע תורך להרוג אדם אחר. ארמאן מסביר שאם כל אדם שני מת, אתה צריך להיות בעמדה שהיא פי 2 ההפרש בין 41 ו-32 (9) - ועוד אחד, יוסף בן מתתיהו עצמו. המשוואה למציאת המיקום המנצח במקרה זה היא
      19=1 + 9 * 2.

      ויוסף בן מתתיהו חישב את כל זה בראשו עמד בעמדה מספר 19 כשהתחיל ההרג. אגב, בסוף הוא עמד אחרון יחד עם אדם נוסף. אך מכיוון שלא רצה למות "וגם לא לטמא את ידו בדם אחים", שכנע את חברו שלא להתאבד ולמסור את עצמם לרומאים על מנת להציל את חייהם. הוא הפך להיסטוריון וארבעת ספריו הפכו לאחד מהמקורות החשובים לתולדות הרומאים.

      עוד בנושא:

      חידון: האם אתם מומחים לקריאת שפת הגוף?
      איזה מספר אתם רואים פה? חצי מכם יטעה ובגדול